（2014•广安二模）已知数列{an}为公差不为0的等差数列，a5和a7的等差中项为6，且a2，a4，a8成等比数列，令bn=1an•an+1，数列{bn}的前n项和为Tn．（Ⅰ）求an及Tn；（Ⅱ）若Tn≤λan+1，对∀n∈N*恒

Question

（2014•广安二模）已知数列{a_n}为公差不为0的等差数列，a₅和a₇的等差中项为6，且a₂，a₄，a₈成等比数列，令b_n=(1)/(an•an+1)，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求a_n及T_n；
（Ⅱ）若T_n≤λa_n+1，对∀n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵{a_n}是等差数列，设公差为d，
则由题意得

a5+a7＝12

a2a8＝a42

，即

2a1+10d＝10

(a1+d)(a1+7d)＝(a1+3d)2

，
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
由bn＝(1)/(an•an+1)＝(1)/(n(n+1))＝(1)/(n)−(1)/(n+1)，
得Tn＝1−(1)/(2)+(1)/(2)−(1)/(3)+…+(1)/(n)−(1)/(n+1)=(n)/(n+1)，
（Ⅱ）∵T_n≤λa_n+1，∀n∈N^*，即(n)/(n+1)≤λ(n+1)恒成立，
∴λ≥(n)/((n+1)2)=

作业帮用户 2017-10-12 举报

问题解析

（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，求出首项和公差，由此求出a_n=n．由bn＝

1

(1)/(an•an+1)＝(1)/(n(n+1))＝(1)/(n)−(1)/(n+1)，利用错位相减法能求出Tn＝(n)/(n+1)．
（Ⅱ）由已知条件得λ≥(n)/((n+1)2)=(1)/(n+(1)/(n)+2)，由此能求出λ的最小值为(1)/(4)．

名师点评

本题考点：

数列的求和；等差数列的性质．

考点点评：

本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议