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(2014•安阳三模)设函数f(x)=ex,x≤0lnx,x>0,若对任意给定的a∈[1,+∞),都存在唯一的x∈R,满足f(f(x))=ma+2m2a2,则正实数m的取值范围是(12,+∞)(12,+∞).

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(2014•安阳三模)设函数f(x)=
ex,x≤0
lnx,x>0
,若对任意给定的a∈[1,+∞),都存在唯一的x∈R,满足 f(f(x))=ma+2m2a2,则正实数m的取值范围是
1
2
,+∞)
1
2
,+∞)
▼优质解答
答案和解析
根据f(x)的函数,我们易得出其值域为:R,
又∵f(x)=ex,(x≤0)时,值域为(0,1];
f(x)=lnx,(x>0)时,其值域为R,
∴可以看出f(x)的值域为(0,1]上有两个解,
要想f(f(x))=ma+2m2a2,在a∈[1,+∞)上只有唯一的x∈R满足,
必有f(f(x))>1 (因为ma+2m2a2>0),
所以:f(x)>e,即lnx>e,
解得:x>ee
当 x>ee时,x与f(f(x))存在一一对应的关系,
∴ma+2m2a2>1,a∈[1,+∞),且m>0,
把m当作主变量,
则不等式等价为2m2a2+ma-1>0,
即(ma+1)(2ma-1)>0,
∵ma+1>0,
∴不等式等价为2ma-1>0,
即m>
1
2a

∵a≥1,
1
2a
1
2

则m>
1
2

故正实数m的取值范围是(
1
2
,+∞).
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