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(2012•许昌县一模)如图,四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD三角形,平面VAD⊥底面ABCD,设AB=2(I)证明:AB⊥平面VAD;(II)求二面角A-VD-B的正切值;(III)E是VA上的动点,当面DCE
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(2012•许昌县一模)如图,四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD三角形,平面VAD⊥底面ABCD,设AB=2
(I)证明:AB⊥平面VAD;
(II)求二面角A-VD-B的正切值;
(III) E是VA上的动点,当面DCE⊥面VAB时,求三棱锥V-ECD的体积.
(I)证明:AB⊥平面VAD;
(II)求二面角A-VD-B的正切值;
(III) E是VA上的动点,当面DCE⊥面VAB时,求三棱锥V-ECD的体积.
▼优质解答
答案和解析
证明:(I)由于面VAD是正三角形,设AD的中点为E,
则VE⊥AD,而面VAD⊥底面ABCD,则VE⊥AB.
又面ABCD是正方形,则AB⊥CD,故AB⊥面VAD.
(II)由AB⊥面VAD,则点B在平面VAD内的射影是A,
设VD的中点为F,连AF,BF由△VAD是正△,则AF⊥VD,
由三垂线定理知BF⊥VD,
故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角.
设正方形ABCD的边长为a,
则在Rt△ABF中,,AB=a,AF=
a,tan∠AFB=
=
=
故二面角A-VD-B的正切值为:
;
(III):由(Ⅰ)可知AB⊥平面VAD,
∴CD⊥平面VAD.
∴平面VAD⊥平面ECD.
又∵△VAD是正三角形,
∴当E是VA的中点时,ED⊥VA.
∴VA⊥平面EDC.
∴面DCE⊥面VAB
三棱锥V-ECD的体积等于三棱锥C-EVD的体积,
VC−VED=
•S△VED•DC=
×
×
×1×2=
则VE⊥AD,而面VAD⊥底面ABCD,则VE⊥AB.
又面ABCD是正方形,则AB⊥CD,故AB⊥面VAD.
(II)由AB⊥面VAD,则点B在平面VAD内的射影是A,
设VD的中点为F,连AF,BF由△VAD是正△,则AF⊥VD,
由三垂线定理知BF⊥VD,
故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角.
设正方形ABCD的边长为a,
则在Rt△ABF中,,AB=a,AF=
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AB |
AF |
a | ||||
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2
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3 |
故二面角A-VD-B的正切值为:
2
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3 |
(III):由(Ⅰ)可知AB⊥平面VAD,
∴CD⊥平面VAD.
∴平面VAD⊥平面ECD.
又∵△VAD是正三角形,
∴当E是VA的中点时,ED⊥VA.
∴VA⊥平面EDC.
∴面DCE⊥面VAB
三棱锥V-ECD的体积等于三棱锥C-EVD的体积,
VC−VED=
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