（2014•商丘三模）如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，AB=AE=23AD=4，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（1）求证：平面PBE⊥平面PEF；（2）求四棱锥P-BEFC的体积．

Question

（2014•商丘三模）如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，AB=AE=(2)/(3)AD=4，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．
（1）求证：平面PBE⊥平面PEF；
（2）求四棱锥P-BEFC的体积．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AE=(2)/(3)AD=4，
∴DE=(1)/(3)AD=(1)/(2)AB=2，
∵F为CD边的中点，
∴DE=DF，又DE⊥DF，
∴∠DEF=45°，
同理∠AEB=45°，
∴∠BEF=45°，即EF⊥BE，
又平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，
∴EF⊥平面PBE，
EF⊂平面PEF，
∴平面PBE⊥平面PEF；
（2）取BE的中点O，连接OP，
∵PB=PE，∴PO⊥BE，
又平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE=BE，
∴PO⊥平面BCDE，
即PO为棱锥P-BEFC的高，PO=2√(2)
SBEFC=SABCD-SABE-SDEF=6×4-(1)/(2)×4×4-(1)/(2)×2×2=14，
则V=(1)/(3)•SBEFC•h=(1)/(3)×14×2√(2)=(28√(2))/(3)．