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对一个边长互不相等的凸n(n≥3)边形的边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色.问:共有多少种不同的染色方法?

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对一个边长互不相等的凸n(n≥3)边形的边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色.问:共有多少种不同的染色方法?
▼优质解答
答案和解析
设n边形的不同的染色方法有pn种.易知三角形的染色方法p3=
A
3
3
=6.       

当n≥4时,首先,对于边a1,有3种不同的染法,由于边a2的颜色与边a1的颜色不同,
∴对边a2有2种不同的染法,类似地,对边a3,…,边an-1均有2种染法.对于边an,用与边an-1不同的2种颜色染色,
但是,这样也包括了它与边a1颜色相同的情况,
而边a1与边an颜色相同的不同染色方法数就是凸n-1边形的不同染色方法数的种数pn-1
pn=3×2n−1−pn−1,pn−2n=−(pn−1−2n−1).数列{Pn−2n}为公比为-1的等比数列,
pn−2n=(−1)n−3(p3−23)=(−1)n−2•2,
pn=2n+(−1)n•2,n≥3.
综上所述,不同的染色方法数为pn=2n+(−1)n•2.
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