（2014•泰州模拟）如图，过椭圆L的左顶点A（-3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，△ABM是直角三角形．（Ⅰ

Question

（2014•泰州模拟）如图，过椭圆L的左顶点A（-3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l₁，l₂分别交椭圆于C，D，又l₁交y轴于M，l₂交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，△ABM是直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆L的标准方程；
（Ⅱ）（i）证明：存在实数λ，使得

AM

=λ

OP

；
（ii）求|OP|的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，
∵当k=3时，△ABM是直角三角形，左顶点A（-3，0）和下顶点B
∴(0+b)/(−3)＝−(1)/(3)，
∴b=1，
∴椭圆L的标准方程为(x2)/(9)+y2＝1；
（Ⅱ）（i）证明：设两直线l₁，l₂的方程分别为y=k（x+3）和y=kx-1，其中k≠0，则M（0，3k），N（(1)/(k)，0）．
y=k（x+3）代入椭圆方程可得（1+9k²）x²+54k²x+81k²-9=0，
方程一根为-3，则由韦达定理可得另一根为(3−27k2)/(1+9k2)，
∴C（(3−27k2)/(1+9k2)，(6k)/(1+9k2)）．
同理D（(18k)/(1+9k2)，(9k2−1)/(1+9k2)）
∵两直线l₁，l₂平行，
∴可设

MP

=t

MN

，

CP

=t

CD

，从而可得P（(3)/(1+3k)，

作业帮用户 2017-10-13 举报

问题解析

（Ⅰ）根据当k=3时，△ABM是直角三角形，左顶点A（-3，0）和下顶点B，求出b的值，即可求椭圆L的标准方程；
（Ⅱ）（i）设两直线l₁，l₂的方程分别为y=k（x+3）和y=kx-1，求出C，D的坐标，可得P的坐标，即可得到存在实数λ，使得

AM

=λ

OP

；
（ii）确定P的轨迹方程，可得|OP|的最小值，即可求|OP|的取值范围．

名师点评

本题考点：

椭圆的简单性质．

考点点评：

本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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