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Question

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Answer 1

1、已知集合 ,则 （ A ）
A、 B、 C、 D、
2、已知 为锐角, ,则 （ C ）
A、-3 B、3 C、 D、
3、已知半球中内接一个空间几何体的三视图如右图所示,则这个半球的
表面积是（ B ）
A、 B、
C、 D、
4、如果圆 关于直线 对称,则直线 的斜率为（ D ）
A、 B、 C、 D、
5、在如右数表中,已知每行的数都成等比数列,第一列数成等差数列,
那么位于右表中的第 行第 列的数是（ B ）
A、 B、
C、 D、
6、已知 是函数 的一个零点,若 ,则 （ D ）
A、 B、
C、 D、
7、已知直线 和平面 ,且 ,给出命题 “若 与 不垂直,则 与 不垂直”,则在命题 的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为（ A ）
A、0 B、1 C、2 D、3
8、已知 ,直线 与直线 互相垂直,则 的最小值等于（ B ）
A、 B、 C、 D、
9、已知 是平面上一定点, 是平面上不共线的三个点,动点 满足
,其中 ,则 点的轨迹一定通过 的（ A ）
A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心
10、对 ,运算“ ”、“ ”定义为： ,则下列各式中恒成立的是（ C ）
① ； ② ；
③ ； ④ .
A、①②③④ B、①②③ C、①③ D、②④
第II卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.
11、复数 . ( )
12、已知 ,则 ____________. ( )
13、设 满足约束条件 ,若目标函数 的最大值为 ,则 的最小值为________. ( 4 )
14、如右图,已知正三棱柱 的所有棱长都相等,
是的 中点,则直线 与平面 所成角的
正弦值为__________. ( )
15、设函数 的定义域为 ,若存在非零实数 ,使得对于任意 ,有 ,且 ,则称 为 上的 高调函数.如果定义域是 的函数 为 上的 高调函数,那么实数 的取值范围是 . ( )
三、 解答题：本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分13分）
设函数 ,
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若 ,求函数 的单调递减区间.
（1） （4分）
（6分）
（2）若 ,则 , （8分）
由 得 （11分）
的单调递减区间是
故函数 的单调递减区间是 . （13分）
17、（本小题满分13分）
如图,在三棱柱 中, 侧面 ,已知
为 的中点,
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
（1）因为 侧面 , 侧面 ,故 ,
在 中, 由余弦定理得：
,
所以 , (4分)
故 ,所以 ,而 平面 .（6分）
（2）解法一：在 中,

所以 .在 中, 为斜边 的中点,故 ,
所以 ,故有 , (8分)
又 侧面 ,又 平面 ,
即是二面角 的平面角. (10分)
在 中, ,故 . (12分)
所以二面角 的大小为 . （ 13分）
解法二：由 （1）可知, 两两垂直.
以 为原点, 所在直线为
轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则 . (7分)
故 .设平面 的法向量为 ,
则由 ,得 ,即 ,整理得 ,
令 ,则 , 是平面 的一个法向量.（9分）
侧面 , 是平面 的一个法向量,
. ( 11分)
设所求二面角 的平面角为 ,则由图可知 ,所以 . （13分）
18、（本小题满分13分）
已知 为椭圆的两焦点,过点 的直线 交椭圆于 两点,且 的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 的倾斜角为 ,求 的面积.
（1） 为椭圆两焦点,
椭圆方程为 ,且 ,
又 的周长为8, , ,
椭圆方程为 (5分)
（2） 的倾斜角为 ,且 过 , 的方程为 , （6分）
代入 得： ,即 ,
设 ,则 ,（7分）

, （9分）
设点 到 距离为 ,则 , （11分）
. （13分）
另 ,又 , ,
19、（本小题满分13分）
如图, 是正方形空地,边长为30m,点 处为电源,点 到 的距离分 别为9m,3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 ,且 ,线段 必须过点 ,端点 分别在边 上,设 ,液晶广告屏幕 的面积为 ,
（1）用 的代数式表示 的长；
（2）求 关于 的函数关系式及该函数的定义域；
（3）当 取何值时,液晶广告屏幕 的面积 最小?
（1）因为点 到边 距离分别为9m,3m,所以由
平面几何知识得, ,解得
当 在 点时,此时 最小为10m,故 （2分）
（2）由勾股定理得： . （4分）

（7分）
（3）由（2）得 （10分）
令 ,得 （舍）或 （11分）
当 时, ,函数单调递减,当 时, ,函数单调递增.
所以当 时, 取得最小值. （13分）
20、（本小题满分14分）
已知函数 ,函数 ,
（1）当 时,分别求出 和 的单调区间；
（2）当 时,求函数 的极小值；
（3）讨论方程 的解的个数.
（1） ,又 ,由 得 或 ,由 得 . 即函数 的单调递增区间是 与 ,单调递减区间是（0,1）； （2分）
而函数 的单调递减区间是 ,单调递增区间是 ； （4分）
（2） （5分）
令 ,得 或 ,由于 ,易知 为函数 的极小值点,
所以 的极小值为 . （7分）
（3）令 ,
. （8分）
①若 ,则 , 的图像与 轴只有一个交点,
即方程 只有一个解； （9分）
②若 ,则 的极大值为 的极小值为 ,
的图象与 轴有三个交点,即方程 有三个解； （10分）
③若 ,则 的极大值为 的图像与 轴只有一个交点,
即方程 只有一个解； （11分）
④若 ,则 单调递增, 的图像与 轴只有一个交点,
即方程 只有一个解； (12分)
⑤若 ,由（2）知 的极大值为 ,
的图象与 轴只有一个交点,即方程 只有一个解； （13分）
综上所述,若 ,方程 只有一个解；
若 方程 有三个解. （14分）
21、本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.
（1）求矩阵 的特征值和特征向量；
（2）以直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中区相同的长度单位,已知直线 的极坐标方程为 ,它与曲线 为参数）相交于 两点,求线段 的长；
（3）已知 ,求证： .
（1）由 ,得矩阵 的特征多项式为：
,
令 得矩阵 的特征值为-1与4. （3分）
将 代入方程组 得 ,
矩阵 的属于特征值-1的一个特征向量为 ； （4分）
将 代入方程组 得 ,
矩阵 的属于特征值4的一个特征向量为 . （7分）
（2）直线 的普通方程为 ,曲线 的直角坐标方程为 . （4分）
因为圆心 到直线 的距离是 ,圆的半径为2,
所以由勾股定理得 ,即线段 的长为 . (7分)
（3）因为 ,所以 ,所以要证 ,
即证
即证 ,即证 ,而 显然成立,
故 . （7分）