（2014•龙岩）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D、E分别是边BC、AB的中点，P是BC边上的动点（不与B、C重合）．设BP=x．（1）当x=6时，求PE的长；（2）当△BPE是等腰三角形时，求x的值；（3）

Question

（2014•龙岩）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D、E分别是边BC、AB的中点，P是BC边上的动点（不与B、C重合）．设BP=x．
（1）当x=6时，求PE的长；
（2）当△BPE是等腰三角形时，求x的值；
（3）当AD平分EP时，试判断以EP为直径的圆与直线AC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵AB=AC=10，BC=12，D为边BC的中点，
∴BD=CD=6，AD⊥BC，
∴当x=6时，点P在D点处，
∴PE为Rt△ABD斜边上的中线，
∴PE=(1)/(2)AB=5；

（2）∵点E为AB的中点，
∴BE=5，
当BP=BE=5，则x=5；
当EP=EB，作EM⊥BD于M，如图1，则BM=PM，
∵点E为AB的中点，
而EM∥AD，
∴M点为BD的中点，
∴PB=BD=6，
∴x=6；
当PB=PE，如图2，作PN⊥BE于N，则BN=EN=(1)/(2)BE=(5)/(2)，
∵∠PBN=∠DBA，
∴Rt△BPN∽Rt△BAD，
∴PB：AB=BN：BD，即x：10=(5)/(2)：6，
∴x=(25)/(6)，
综上所述，当△BPE是等腰三角形时，x的值为5或6或(25)/(6)；

（3）以EP为直径的圆与直线AC相交．理由如下：
EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如图3，
在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，
∴AD=√(AB2−BD2)=8，
∵点E为AB的中点，
而EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=(1)/(2)BD=3，AF=DF=(1)/(2)AD=4，
∵AD平分EP，
∴OE=OP，
在△OEF和△OPD中

∠EFO＝∠PDO

∠EOF＝∠POD

OE＝OP

，
∴△OEF≌△OPD，
∴OF=OD，
∴OF=(1)/(2)DF=2，
∴AO=AF+OF=6，
在Rt△OEF中，EF=3，OF=2，
∴OE=√(EF2+OF2)=

作业帮用户 2017-09-27 举报

问题解析

（1）根据等腰三角形的性质得BD=CD=6，AD⊥BC，所以x=6时，点P在D点处，根据直角三角形斜边上的中线性质得PE=

(1)/(2)AB=5；
（2）先得到BE=5，再分类讨论：当BP=BE=5，易得x=5；当EP=EB，作EM⊥BD于M，如图1，根据等腰三角形的性质得BM=PM，由点E为AB的中点，EM∥AD得到M点为BD的中点，则PB=BD=6，即x=6；当PB=PE，如图2，作PN⊥BE于N，根据等腰三角形的性质得BN=EN=(1)/(2)BE=(5)/(2)，再证明Rt△BPN∽Rt△BAD，理由相似可计算出PB=(25)/(6)，即x=(25)/(6)；
（3）EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如图3，在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AD=8，由点E为AB的中点，EF∥BD得到EF为△ABD的中位线，则EF=(1)/(2)BD=3，AF=DF=(1)/(2)AD=4，再利用“AAS”证明△OEF≌△OPD，则OF=OD=(1)/(2)DF=2，所以AO=AF+OF=6，然后在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出OE=√(13)，证明Rt△AOH∽Rt△ACD，利用相似比计算出OH=(18)/(5)，再比较OE与OH的大小，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．

名师点评

本题考点：

圆的综合题．

考点点评：

本题是圆的综合题：熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法和等腰三角形的性质；利用三角形全等解决线段相等的问题；利用三角形相似求线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

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