（2009•潍坊二模）已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中a、b∈R（I）当a=0，b=3时，求函数，f（x）的极值；（Ⅱ）当a=0时，f(x)x2-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求b的取值范围（Ⅲ）若0＜a＜b，

Question

（2009•潍坊二模）已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中a、b∈R
（I）当a=0，b=3时，求函数，f（x）的极值；
（Ⅱ）当a=0时，(f(x))/(x2)-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求b的取值范围
（Ⅲ）若0＜a＜b，点A（s，f（s）），B（t，f（t））分别是函数f（x）的两个极值点，且0A⊥OB，其中0为原点，求a+b的取值范围．

Answer 1

（I）当a=0，b=3时，f（x）=x³-3x²
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2，令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴x=0时，函数取得极大值为0，x=2时，函数取得极小值为-4；
（Ⅱ）当a=0时，(f(x))/(x2)-lnx=x-b-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴b≤x-lnx在[1，+∞）上恒成立
令g（x）=x-lnx，则g′(x)＝(x−1)/(x)
∵x＞1，∴g′(x)＝(x−1)/(x)＞0
∴g（x）在[1，+∞）上是增函数
∴g（x）_min=g（1）=1
∴b≤1；
（Ⅲ）由题意，

OA

•

OB

＝0，∴st+f（s）f（t）=0
∴st+st（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=0①
∴f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab
∵s，t是f′（x）=0的两根
∴s+t=(2(a+b))/(3)，st=(ab)/(3)＞0
∴①可化为（(1)/(3)a2−(ab)/(3)）（(1)/(3)b2−(ab)/(3)）=-1
∴ab（a-b）²=9
∴(a−b)2＝(9)/(ab)
∴(a−b)2＝(9)/(ab)
∴(a+b)2＝(a−b)2+4ab＝(9)/(ab)+4ab≥12
当且仅当(9)/(ab)＝4ab，即ab=(3)/(2)时取“=”
∴a+b的取值范围是[2√(3)，+∞）．