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(2013•淄博一模)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,P为DN的中点.(Ⅰ)求证:BD⊥MC;(Ⅱ)在线段AB是否存在点E,使得AP∥平面NEC,若存在,说
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(Ⅰ)求证:BD⊥MC;
(Ⅱ)在线段AB是否存在点E,使得AP∥平面NEC,若存在,说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC,
又ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,所以MA⊥平面ABCD,
所以MA⊥BD,又因为AC∩MA=A,由线面垂直的判定可得BD⊥平面AMC
又因为AC⊂平面AMC,所以BD⊥MC;
(2)当E为线段AB中点时,会使AP∥平面NEC,下面证明:
取NC中点F,连接EF,PF,可得AE∥CD,且AE=
CD,
由三角形的中位线可知,PF∥CD,且PF=
CD,
故可得AE∥PF,且AE=PF,即四边形AEPF为平行四边形,
故可得AP∥EF,又AP⊄平面NEC,EF⊂平面NEC,
所以AP∥平面NEC,
故当E为线段AB中点时,会使AP∥平面NEC
又ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,所以MA⊥平面ABCD,
所以MA⊥BD,又因为AC∩MA=A,由线面垂直的判定可得BD⊥平面AMC
又因为AC⊂平面AMC,所以BD⊥MC;
(2)当E为线段AB中点时,会使AP∥平面NEC,下面证明:
取NC中点F,连接EF,PF,可得AE∥CD,且AE=
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由三角形的中位线可知,PF∥CD,且PF=
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故可得AE∥PF,且AE=PF,即四边形AEPF为平行四边形,
故可得AP∥EF,又AP⊄平面NEC,EF⊂平面NEC,
所以AP∥平面NEC,
故当E为线段AB中点时,会使AP∥平面NEC
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