（2014•威海）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形

Question

（2014•威海）如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．

Answer 1

（1）∵该抛物线过点C（0，2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+2．
将A（-1，0），B（4，0）代入，
得

a−b+2＝0

16a+4b+2＝0

，
解得

a＝− (1)/(2)

b＝ (3)/(2)

，
∴抛物线的解析式为：y=-(1)/(2)x²+(3)/(2)x+2．

（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC=√(22+42)=2√(5)．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则(1)/(2)×2√(5)h=(1)/(2)×2×4，
∴h=(4)/(5)√(5)．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），
∴(AB)/(BC)=(|y|)/((4)/(5)√(5))，
∴y=±2
将y=2代入抛物线y=-(1)/(2)x²+(3)/(2)x+2，
得x₁=0，x₂=3．
当y=-2时，不合题意舍去．
∴E点坐标为（0，2），（3，2）．

（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

2＝b

0＝4k+b

，
∴

k＝−(1)/(2)

b＝2

，
y_BC=-(1)/(2)x+2．
由BC∥AD，设AD的解析式为y=-(1)/(2)x+n，由图象，得
0=-(1)/(2)×（-1）+n
∴n=-(1)/(2)，
y_AD=-(1)/(2)x-(1)/(2)．
∴-(1)/(2)x²+(3)/(2)x+2=-(1)/(2)x-(1)/(2)，
解得：x₁=-1，x₂=5
∴D（-1，0）与A重合，舍去；
∴D（5，-3）．
∵DE⊥x轴，
∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD=√(10)．
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=√(5)，BC=2√(5)，
∴AC²=5，BC²=20，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
∵BC∥AD，
∴∠CAF+∠ACB=180°，
∴∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AC=BF=√(5)，
在Rt△BFD中，由勾股定理，
得DF=√(5)，
∴DF=BF，
∴∠ADB=45°．