求不定方程1/x+1/y=1/30的整数解中,使x+y最大以及最小的两组解.

Question

求不定方程1/x+1/y=1/30的整数解中,使x+y最大以及最小的两组解.

Answer 1

原不定方程等价于
30x+30y=xy
即(x-30)(y-30)=900
当x+y=(x-30)+(y-30)+60取最值时,相应于x-30 + y-30取最值.
易见
(x-30,y-30) 分别取 (-900,-1)时,
x+y取最小值 -900-1+60,此时x,y分别为 -870,29或 29,-870
(x-30,y-30) 分别取 (900,1)时,
x+y取最大值 900+1+60,此时x,y分别为 930,31或31,930
外一则：
如果原题限定为正整数解,那么
(x-30,y-30) 分别取 (30,30)时,
x+y取最小值 30+30+60,此时x,y分别为 60或 60