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(2011•东营)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(-3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线y=12x+b交折线OAB于点E.(1)记△ODE的面积为S
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(2011•东营)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(-3,0),(0,1),点D是线段BC 上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线y=
x+b交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段0A上时,且tan∠DEO=
.若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
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(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段0A上时,且tan∠DEO=
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(-3,0),(0,1),
∴B(-3,1),
若直线经过点A(-3,0)时,则b=
,
若直线经过点B(-3,1)时,则b=
,
若直线经过点C(0,1)时,则b=1,
①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤
,如图1,
此时E(-2b,0),
∴S=
OE•CO=
×2b×1=b;
②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即
<b<
,如图2
此时E(-3,b−
),D(2-2b,1),
∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE+S△DBE)
=3-[
(2b-2)×1+
×(5-2b)•(
-b)+
×3(b-
)]
=
b-b2,
∴S=
;
(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为
四边形DNEM的面积.
由题意知,DM∥NE,DN∥ME,
∴四边形DNEM为平行四边形,
根据轴对称知,∠MED=∠NED,
又∠MDE=∠NED,
∴∠MED=∠MDE,
∴MD=ME,
∴平行四边形DNEM为菱形.
过点D作DH⊥OA,垂足为H,
由题易知,tan∠DEO=
∴B(-3,1),
若直线经过点A(-3,0)时,则b=
3 |
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若直线经过点B(-3,1)时,则b=
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若直线经过点C(0,1)时,则b=1,
①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤
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此时E(-2b,0),
∴S=
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②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即
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此时E(-3,b−
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∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE+S△DBE)
=3-[
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∴S=
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(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为
四边形DNEM的面积.
由题意知,DM∥NE,DN∥ME,
∴四边形DNEM为平行四边形,
根据轴对称知,∠MED=∠NED,
又∠MDE=∠NED,
∴∠MED=∠MDE,
∴MD=ME,
∴平行四边形DNEM为菱形.
过点D作DH⊥OA,垂足为H,
由题易知,tan∠DEO=
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