（2014•济宁一模）设函数f（x）=ax-2-lnx（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x-ey-2e=0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x＞0时，求证：f（x）-ax+ex＞0．

Question

（2014•济宁一模）设函数f（x）=ax-2-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x-ey-2e=0，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x＞0时，求证：f（x）-ax+e^x＞0．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax-2-lnx（x＞0），
∴f'（x）=a-(1)/(x)=(ax−1)/(x)，
又f（x）在点（e，f（e））处的切线为x-ey-2e=0，
∴f'（e）=a-(1)/(e)=(1)/(e)，故a=(2)/(e)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f'（x）=a-(1)/(x)=(ax−1)/(x)（x＞0），
当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上是单调减函数，
当a＞0时，令f'（x）=0，则x=(1)/(a)，
令f'（x）＜0，则0＜x＜(1)/(a)，f'（x）＞0，则x＞(1)/(a)，
∴f（x）在（0，(1)/(a)）上单调递减，在（(1)/(a)，+∞）上单调递增，
综上可得：当a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞），
当a＞0时，f（x）的单调减区间为（0，(1)/(a)），f（x）的单调增区间为（(1)/(a)，+∞）；
（Ⅲ）当x＞0时，要证f（x）-ax+e^x＞0，即证e^x-lnx-2＞0，
令g（x）=e^x-lnx-2（x＞0），只需证g（x）＞0，
∵g'（x）=ex-(1)/(x)，由指数函数和幂函数的单调性知，g‘（x）在（0，+∞）上递增，
又g'（1）=e-1＞0，g'（(1)/(3)）=e(1)/(3)-3＜0，∴g'（1）•g'（(1)/(3)）＜0，
∴g'（x）在（(1)/(3)，1）内存在唯一的零点，则g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点，
设g'（x）的零点为t，则g'（t）=e^t-(1)/(t)=0，即e^t=(1)/(t)（(1)/(3)＜t＜1），
由g'（x）的单调性知：
当x∈（0，t）时，g'（x）＜g'（t）=0，当x∈（t，+∞）时，g'（x）＞g'（t）=0，
∴g（x）在（0，t）上为减函数，在（t，+∞）上为增函数，
∴当x＞0时，g（x）≥g（t）=e^t-lnt-2=(1)/(t)-ln(1)/(et)-2=