如图,在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为正方形,且PD垂直平面ABCD,PD=AB=1,E.F分别是PB,AD的中点.1.证明：EF垂直平面PBC.2.求二面角B-FC-E的大小

Question

如图,在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为正方形,且PD垂直平面ABCD,PD=AB=1,E.F分别是PB,AD的中点.
1.证明：EF垂直平面PBC.2.求二面角B-FC-E的大小

Answer 1

画出图,
连接FP、FB,
△FBP中,FP=√(PD²+FD²)=√(1²+0.5²),
FB=√(AB²+FA²)=√(1²+0.5²),
所以△FBP是等腰三角形,FE为底边中线,所以FE为底边高线,
得到FE⊥PB （1）
∵PD⊥面ABCD,E是PB的中点,显然点E在面ABCD内的正投影为线段BD中点,设为O点
得到EO⊥面ABCD,有EO⊥BC （2）
连接FO,在正方形ABCD内,可以发现FO//AB,得到FO⊥BC （3）
由（2）（3）得到BC⊥面EOF,得到BC⊥EF （4）
有（1）(4)得到EF⊥面PBC
求二面角B-FC-E的大小：
∵EO⊥面ABCD,即EO⊥面BCF,
∴作OMEO⊥CF于M,连接EM,则∠EMO的大小就是二面角B-FC-E的大小
直角△EOM中,∠EOM=90°,EO=1/2,
OM=FO*sin(∠MFO)=1/2*sin(∠DCF)=1/2*（1/√5）=√5/10,
所以tan(∠EMO)=EO/OM=(1/2) / (√5/10)=√5
所求二面角B-FC-E的大小为arctan√5