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初三某班在庆祝申奥成功的活动中,制作某种喜庆用品需将一张半径为2的半圆形纸板沿它的一条弦折叠,使得弧与直径相切,如图所示,如果切点分直径为3:1两部分,则折痕长为()A
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初三某班在庆祝申奥成功的活动中,制作某种喜庆用品需将一张半径为2的半圆形纸板沿它的一条弦折叠,使得弧与直径相切,如图所示,如果切点分直径为3:1两部分,则折痕长为( )
A.
B.
C.2
D.
A.
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B.
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C.2
3 |
D.
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▼优质解答
答案和解析
过O作弦BC的垂线OP,垂足为D,分别与弧的交点为A、G,过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点,如图,
∵OP⊥BC,
∴BD=DC,即OP为BC的中垂线,
∴OP必过弧BGC所在圆的圆心,
又∵OE为弧BGC所在圆的切线,PF⊥OE,
∴PF必过弧BGC所在圆的圆心,
∴点P为弧BGC所在圆的圆心,
∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC,
∴⊙P为半径等于⊙O的半径,即PF=PG=OE=2,并且AD=GD,
∴OG=AP,
而F点分⊙O的直径为3:1两部分,
∴OF=1,
在Rt△OPF中,设OG=x,则OP=x+2,
∴OP2=OF2+PF2,即(x+2)2=12+22,解得x=
-2,
∴AG=2-(
-2)=4-
,
∴DG=
=2-
,
∴OD=OG+DG=
-2+2-
=
,
在Rt△OBD中,BD2=OB2-OD2,即BD2=22-(
)2,
∴BD=
,
∴BC=2BD=
.
故选B.
∵OP⊥BC,
∴BD=DC,即OP为BC的中垂线,
∴OP必过弧BGC所在圆的圆心,
又∵OE为弧BGC所在圆的切线,PF⊥OE,
∴PF必过弧BGC所在圆的圆心,
∴点P为弧BGC所在圆的圆心,
∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC,
∴⊙P为半径等于⊙O的半径,即PF=PG=OE=2,并且AD=GD,
∴OG=AP,
而F点分⊙O的直径为3:1两部分,
∴OF=1,
在Rt△OPF中,设OG=x,则OP=x+2,
∴OP2=OF2+PF2,即(x+2)2=12+22,解得x=
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∴AG=2-(
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∴DG=
4−
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∴OD=OG+DG=
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2 |
在Rt△OBD中,BD2=OB2-OD2,即BD2=22-(
| ||
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∴BD=
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2 |
∴BC=2BD=
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故选B.
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