(2012山东数学)((22)已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x(k为常数,e=2.7(2012山东数学)((22)已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)

Answer 1

I）函数f(x)=lnx+k ex (k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数）,∴f′(x)=1 x -lnx-k ex =1-xlnx-kx xex ,x∈（0,+∞）,由已知,f′(1)=1-k e =0,∴k=1．
（II）由（I）知,f′(x)=1 x -lnx-1 ex =1-xlnx-x xex ,x∈（0,+∞）,设h（x）=1-xlnx-x,x∈（0,+∞）,可得h（x）在（0,+∞）上是减函数,又h（1）=0,∴当0＜x＜1时,h（x）＞0,从而f'（x）＞0,当x＞1时h（x）＜0,从而f'（x）＜0． 综上可知,f（x）的单调递增区间是（0,1）,单调递加区间是（1,+∞）