收敛与一致收敛的关系是什么?我看书上写的判断收敛的必要条件和判断一致收敛的一样啊

Question

收敛与一致收敛的关系是什么?我看书上写的判断收敛的必要条件和判断一致收敛的一样啊

Answer 1

那还有充分条件呢!
A是B的必要条件就是说B能推出A,但是A不能推出B.A是B的充分条件就是说A能推出B,但B不能推出A.你要说A和B一样,那就必须A是B的充分必要条件才行.
以下是一致收敛的定义：
设{Sn(x)}(x∈D)是一函数序列,若对任意给定的ε＞0,存在仅于ε有关的正整数N(ε),当n＞N(ε)时,|Sn(x)-S(x)|＜ε对一切x∈D成立,则称{Sn(x)}在D上一致收敛于S(x).
我们要清楚,要一致收敛,那就是|Sn(x)-S(x)|＜ε不以x在D上取值的不同而出现差异.就是说我们不用管x在哪个点,只要存在仅于ε有关的正整数N(ε),当n＞N(ε)时就成立.而收敛是需要讨论x点的取值情况的,数列{Sn(x)}在x1点收敛,未必在x2点收敛!
综合上述我们可以看出,一致收敛肯定是收敛,但收敛却未必是一致收敛.收敛是一致收敛的必要条件.