以任意三角形的三边为底边作三个顶角为120度的等腰三角形.求：这三个等腰三角形的三个顶角的顶点是等边三角形的三个顶点.

Question

以任意三角形的三边为底边作三个顶角为120度的等腰三角形.
求：这三个等腰三角形的三个顶角的顶点是等边三角形的三个顶点.

Answer 1

如图,设原三角形ABC中,各角为A、B、C,其对边分别为a,b,c.
则易得：AD＝CD＝b/√3,CE＝BE＝a/√3, AF＝BF＝c/√3
∠DCE＝C+60°,∠EBF＝B+60°,∠FAD＝A+60°
三角形DCE中,DE^2=DC^2+CE^2-2DC*CEcos∠DCE
＝b^2/3+a^2/3-2ab/3cos(C+60°)
=[b^2+a^2-ab(cosC-√3sinC)/2]/3 (将cosc=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)代入化简）
=[(a^2+b^2+c^2)/2+√3absinC]/3
=[(a^2+b^2+c^2)/2+√3abc/(2R)]/3, 其中R为三角形ABC的外接圆半径.
EF^2, FD^2由a,b,c轮换可得.因为此式中的,a,b,c性质对等,所以计算得到的EF^2、FD^2和上面的结果是一样的（如果不信,可用上面的过程算一遍）,即DE＝EF＝FD.故三角形DEF是等边三角形.