数学曲线与方程已知2a+2b+c=0.求直线ax+by+c=0与曲线y^2=2x交点连线的中点的轨迹方程.麻烦告诉我思路与大概做法就可以了

Answer 1

先分类讨论一下,a=0和不等于0的两种情况,a=0时,可以得到直线就是y=2,它跟y^2=2x只有一个交点.a不等于0时,将直线x=－by/a - c/a 代入抛物线,得到y^2＋2by/a + 2c/a=0,下面还要分类讨论这个关于y的一元二次方程,只有根的判别式大于0的时候,直线与抛物线才有两个交点,才存在中点及其轨迹方程的问题.根的判别式小于或等于0的时候,没有交点或只有一个切点.
所以,就分成b^22ac时,由韦达定理,可以直接写出两交点中点的纵坐标是这个方程两根和的一半,所以是－b/a,下面求中点横坐标的时候也不要去解方程,解方程太麻烦,可以利用直线方程ax+by+c=0和刚才求出的坐标,轻松把中点横坐标求出,是b^2/2a^2 -2c/a
下面就可以设这个中点的坐标是(x,y),写出参数方程了：
x=b^2/2a^2 -2c/a
y=－b/a
联立起来,再利用2a+2b+c=0,可以推出c/a=-2-2b/a=-2+2y,这个参数方程就是b/a,c/a什么的,很容易就求出x,y之间的关系了.
2x=(b/a)^2-4(2y-2)
2x=y^2-8y+8
我没检查中间的过程有没计算错.方法肯定没问题,供参考吧.