如图，有一公共边但不共面的两个三角形ABC和A1BC被一平面DEE1D1所截，若平面DEE1D1分别交AB，AC，A1B，A1C于点D，E，D1，E1．（1）讨论这三条交线ED，CB，E1D1的关系．（2）当BC∥平面DEE1D1时，求A

Question

如图，有一公共边但不共面的两个三角形ABC和A₁BC被一平面DEE₁D₁所截，若平面DEE₁D₁分别交AB，AC，A₁B，A₁C于点D，E，D₁，E₁．
（1）讨论这三条交线ED，CB，E₁ D₁的关系．
（2）当BC∥平面DEE₁D₁时，求(AD)/(DB)•(BD1)/(D1A1)•(A1E1)/(E1C)•(CE)/(EA)的值；
（3）当BC不平行平面DEE₁D₁时，(AD)/(DB)•(BD1)/(D1A1)•(A1E1)/(E1C)•(CE)/(EA)的值变化吗？为什么？

Answer 1

（1）互相平行或三线共点．
当BC∥平面DEE₁D₁时，平面ABC∩平面DEE₁D₁=ED
∴BC∥ED，
同理CB∥E₁ D₁，∴ED∥CB∥E₁ D₁
当BC不平行平面DEE₁D₁时，延长ED、CB交于点H，
∴H∈EF
∵EF⊊平面DEE₁D₁，∴H∈平面DEE₁D₁
同理H∈平面A₁BC
∴H∈平面DEE₁D₁∩平面A₁BC
即H∈E₁D₁
∴E₁、D₁、H三点共线，∴三线共点
（2）∵BC∥平面DEE₁D₁，且BC⊊平面ABC，平面ABC∩平面DEE₁D₁=ED
∴BC∥ED，同理BC∥E₁D₁
在△ABC中，BC∥ED，∴(AD)/(DB)＝(AE)/(EC)
同理可得(BD1)/(D1A1)＝(CE1)/(E1A1)
∴(AD)/(DB)•(BD1)/(D1A1)•(A1E1)/(E1C)•(CE)/(EA)=(AE)/(EC)•(CE1)/(E1A1)•(A1E1)/(E1C)•(CE)/(EA)=1
（3）由（1）可得，延长ED、CB、E₁D₁交于点H，过点B作BF∥AC，BG∥A₁C
∵BF∥AC，∴(AD)/(DB)＝(AE)/(BF)
同理可得(BD1)/(D1A1)＝(BG)/(E1A1)
在△HCE中，BG∥CE₁，∴(BG)/(CE1)＝(HB)/(HC)
同理可得(FB)/(EC)＝(HB)/(HC)
∴(AD)/(DB)•

作业帮用户 2017-10-22 举报

问题解析

（1）利用线面平行的性质及平行线的性质，及公理2可得结论；
（2）利用线面平行的性质及平行线的性质可得结论；
（3）利用平行线的性质，考查比例式，化简可得结论．

名师点评

本题考点：

综合法与分析法(选修）．

考点点评：

本题考查线面平行，考查平行线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

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