怎么证明在有理范围内0到1是无穷个数-请各位有兴趣的回更希望教授来帮个忙本人就是想考考数学教授挑战数学界的精英们,清华北大的也可以来试试的.但是要署名的啊

Question

怎么证明在有理范围内0到1是无穷个数 - 请各位有兴趣的回 更希望教授来帮个忙本人就是想考考数学教授
挑战数学界的精英们,清华北大的也可以来试试的.但是要署名的啊

Answer 1

0.9999.是否等于1 ?实际上,这是事关“无穷小”的重要问题.我正好想说说一些对数学“无穷”的理解.

其实好久以前我高中时就有同学说过这个问题,因为高中已经学过“极限”,所以我是坚持不等于1的,“无穷接近1”的点和“1”明确的不是同1点,否则所谓“左极限”“右极限”就是无稽之谈.

事实上, 0.9999.这样的表示就有问题,有人声称那是省略了lim和趋于条件的简写,如果是这样这个根本不是什么值得说的问题了,不过应该没有这样的“默认”存在,至少不是普遍“默认”. 我问了1个学数学专业的朋友,他说“只能说0.999999.的极限是1,不能说等于1”,看来没有这样的“默认”,他既然没有写极限号,那么就不是在问它的极限.不过后来,有了新的想法.

当然,也有不少人不认为是省略了lim和趋于条件的简写,也说等于1.

下面主要说说各种证明 0.9999.=1 的证法的问题. 不过最后要说的是真正关键问题——真正的“无穷”和趋于“无穷”

1.

1/3=0.333.

3 X 1/3 = 3 X 0.333.

所以 1= 0.9999.

显然,真正的问题就是 1/3本来就不等于0.333. 循环小数原来来自除不尽, 但是无论多少位终究有“余数”,以前没有“无穷小”概念,所以这样记了.现在有“无穷小”概念,那么就应该注意到它们的“无穷小”差异.


2.

1和0.99999.都是常量
它们的差当然是个常量 可以确定这个常量是无穷小 而能作为无穷小的常量只有0
所以1-0.99999.=0
就是1=0.99999.


显然问题在于 0.99999.是不是常量? 按说0.9999999.这个样子,在数轴上是从左边“无穷接近1”的点,怎么确定它的位置?如果说它就是1,那么“无穷接近”这个概念是白定了.所谓“左极限”“右极限”就是无稽之谈.龟兔悖论白说了,第2次数学危机白经历了.

“无穷大”我们知道是特殊的东西,不是确定的点,同样“无穷接近1”的2个点,同样是无法确定的. 0.9999999.= 1-1/1000000. 有1个“无穷小”的距离,“无穷小”的存在是它只能成为特殊的东西.


3.
标准解法：
令x=0.99999.
显然x满足
x=0.9+0.1*x
解上面的方程,x=1
所以 0.99999.=1

这个解法据说是小学生都会,如果是1个小学生做的,他确实聪明,而且看上去仿佛天衣无缝.不过其实问题很严重,x=0.9+0.1*x 按理说只有1个实数解,如果0.99999.和1都是它的根,那么就应该相等了.

但是,如果说0.99999.根本不是1个真正的数,那么它根本不能做方程的根,比如我们把“无穷大”代入方程,是什么结果? “无穷大”=“无穷大” 不好说了.

“无穷大”不能做方程的根,好理解.那么为什么不是“无穷大”的 0.99999...也不行呢? 看看 0.99999...=1- 1/1000000... 那么 0.1 X 0.99999.=1- 0.1/1000000...

0.1/1000000...算个什么?和 1/1000000...有区别吗?结果 0.1 X 0.99999...=1- 1/1000000... 后项没有变.显然这样含有“无穷小”的“数”,不符合一些代数运算律,比如乘法结合律,所以不能做方程的根.

x=0.9+0.1*x 确实只有1个实数解,就是1,没有什么 0.99999...





关键问题——真正的“无穷”

其实,上面的话都没有触及真正的关键问题.那就是：“真正的无穷”.

什么“极限”,它敢说它是计算“无穷”吗?不是,它只说是“趋于无穷”,那么如果所谓的 0.99999...意思是 “就是无穷多个9”,怎么办?

虽然“极限”的概念解决了很多问题,但是在“无穷大”“无穷小”上仍然理智地声称是“趋于无穷（大、小）”,而不说“就是无穷”：能达到的话就不是“无穷”了.

微积分中的“无穷小”概念,也只是1个“趋于0”的函数,所以还能根据“趋于的速度”定义“高阶无穷小”“低阶无穷小”“同阶无穷小”“等价无穷小”这样的概念进行一些运算,和 1/10000.（就是无穷多个0）这样的不知道算什么东西的“真正的无穷小”大不一样.

同样,“趋于无穷大”的函数,也可以进行一些计算,和平白的 10000.这样的不知道算什么东西的“真正的无穷大”大不一样（我大学数学老师的话：什么东西乘0都是0,但是无穷大不是东西）.


所以,没有什么真正的运算是能计算“真正的无穷”的问题,所以如果把 0.99999...理解为“就是无穷多个9”,只能说,谁也不知道是多少,当然也不知道是否等于 1 了.

不过,如果真遇到了事关“真正的无穷”的问题,我们人类难道就束手无策了?当然不是,我们可以用“定义”解决问题,反正谁也不知道是多少,现实也没有明确指向,那么我们反而就好定义了.

比如,无穷级数的和,定义“它的和就是它的极限”.

比如,2个无穷数集,元素数量是否相等?康德就先定义什么是“相等”,然后才解释这个问题.

可见,真遇到了事关“真正的无穷”的问题,原来一些仿佛已经固定的概念（比如“和”、“相等”）都需要重新特别进行“定义”,然后在定义的范围内解答问题.


同样,在某些情况下,可以定义 0.99999...（无穷多个9）=1,不过,这已经是定义而已了.同样,也可以定义它们不相等,看需要定.