已知椭圆M为y^2/4+x^2/2=1,A(1,√2).已知直线l的斜率为√2,若直线l与椭圆M交于B,C两点,求ABC面积的最大值

Question

已知椭圆M为y^2/4+x^2/2=1,A(1,√2).
已知直线l的斜率为√2,若直线l与椭圆M交于B,C两点,求ABC面积的最大值

Answer 1

答：
椭圆(y^2)/4+(x^2)/2=1长轴在y轴上,短轴在x轴上
所以：焦点在y轴上
点A（1,√2）经验证在椭圆上
直线L斜率k=√2,y=√2x+b,√2x-y+b=0
点A（1,√2）到直线的距离d=|√2-√2+b|/√(1+2)=|b|/√3
直线与椭圆联立得：
(√2x+b)^2+2x^2=4
4x^2+2√2bx+b^2-4=0
根据韦达定理：
x1+x2=-√2b/2
x1*x2=(b^2-4)/4
因为：y1-y2=√2(x1-x2)
所以：
BC^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=3(x1-x2)^2
=3*[(x1+x2)^2-4x1x2]
=3*(-√2b/2)^2-3*(b^2-4)
=3(b^2)/2-3b^2+12
=-3(b^2)/2+12
所以：BC=√[12-3(b^2)/2]
所以三角形ABC面积：
S=BC*d/2
=[ |b| / (2√3) ]*√[12-3(b^2)/2]
=2*√[ 3(b^2)/2) ]*√[12-3(b^2)/2 ] *(√2/12)