已知函数f（t）=log2t，t∈[，8]，（1）求f（t）的值域G；（2）若对于G内的所有实数x，不等式-x2+2mx-m2+2m≤1恒成立，求实数m的取值范围。

Question

已知函数f（t）=log ₂ t，t∈[ ，8]，
（1）求f（t）的值域G；
（2）若对于G内的所有实数x，不等式-x ² +2mx-m ² +2m≤1恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)∵f(t)=log ₂ t在t∈[ ，8]上是单调递增的，
∴log ₂ ≤log ₂ t≤log ₂ 8，
即 ≤f(t)≤3，
∴f(t)的值域G为[ ，3]。
(Ⅱ)由题知-x ² +2mx-m ² +2m≤1在x∈[ ，3]上恒成立 -2mx+m ² -2m+1≥0在x∈[ ，3]上恒成立，
令g(x)=x ² -2mx+m ² -2m+1，x∈[ ，3]，
只需g _min (x)≥0即可，
而g(x)=(x-m) ² -2m+1，x∈[ ，3]，
(1)当m≤ 时，g _min (x)=g( )= -3m+m ² +1≥0，
∴4m ² -12m+5≥0，解得m≥ 或m≤ ，
∴m≤ ；
(2)当 ＜m＜3时，g _min (x)=g(m)=-2m+1≥0，解得m≤ 这与 ＜m＜3矛盾；
(3)当m≥3时，g _min (x)=g(3)=10+m ² -8m≥0，解得m≥4+ 或m≤4- ，
而m≥3，
∴m≥4+ ；
综上，实数m的取值范围是(-∞， )∪[4+ ，+∞]。