若f（x）=2（log2x）2+alog2x-2+b，在x=12时，取得最小值1，（1）求a和b的值．（2）求x∈[14，8]上的值域．

Question

若f（x）=2（log ₂ x） ² +alog ₂ x ^-2 +b，在x= (1)/(2) 时，取得最小值1，
（1）求a和b的值．
（2）求x∈[ (1)/(4) ，8]上的值域．

Answer 1

（1）函数的定义域为（0，+∞），
因为f（x）=2（log ₂ x） ² +alog ₂ x ^-2 +b=2（log ₂ x） ² -2alog ₂ x+b，
设t=log ₂ x，则函数等价为 g(t)=2 t 2 -2at+b=2 (t-(a)/(2) ) 2 +b-(a2)/(2) ，
因为当x= (1)/(2) 时，取得最小值1，此时 t= log 2 (1)/(2) =-1 ，
所以 (a)/(2) =-1，b-(a2)/(2) =1 ，解得a=-2，b=3．…（6分）
（2）因为a=-2，b=3．，所以g（t）=2（t+1） ² +1，二次函数的对称轴为t=-1，…（8分）
因为x∈[ (1)/(4) ，8]，所以-2≤t≤3…（10分）
所以1≤y≤33．
即函数的值域为[1，33]…（12分）