数列an=log2n+1n+2(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn＜-5成立的自然数n（）A．有最小值63B．有最大值63C．有最小值31D．有最大值31

Question

数列 a n = lo g 2 (n+1)/(n+2) (n∈ N * ) ，设其前n项和为S _n ，则使S _n ＜-5成立的自然数n（　　）

A．有最小值63

B．有最大值63

C．有最小值31

D．有最大值31

Answer 1

由题意可知；a _n =log ₂ (n+1)/(n+2) （n∈N ^* ），
设{a _n }的前n项和为S _n =log ₂ (2)/(3) +log ₂ (3)/(4) +…+log ₂ (n)/(n+1) +log ₂ (n+1)/(n+2) ，
=[log ₂ 2-log ₂ 3]+[log ₂ 3-log ₂ 4]+…+[log ₂ n-log ₂ （n+1）]+[log ₂ （n+1）-log ₂ （n+2）]
=[log ₂ 2-log ₂ （n+2）]=log ₂ (2)/(n+2) ＜-5，
即 (2)/(n+2) ＜2 ^-5
解得n+2＞64，
n＞62；
∴使S _n ＜-5成立的自然数n有最小值为63．
故选：A．