某城市自西向东和自南向北的两条主干道的东南方位有一块空地，市规划部门计划利用它建设一个供市民休闲健身的小型绿化广场，如下图所示是步行小道设计方案示意图，其中，Ox，Oy分别

Question

某城市自西向东和自南向北的两条主干道的东南方位有一块空地，市规划部门计划利用它建设一个供市民休闲健身的小型绿化广场，如下图所示是步行小道设计方案示意图，其中，Ox，Oy分别表示自西向东，自南向北的两条主干道．设计方案是自主干道交汇点O处修一条步行小道，小道为抛物线y=x²的一段，在小道上依次以点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(n≥10，n∈N*)为圆心，修一系列圆形小道，这些圆形小道与主干道Ox相切，且任意相邻的两圆彼此外切，若x₁=1（单位：百米）且x_n+1＜x_n．
（1）记以P_n为圆心的圆与主干道Ox切于A_n点，证明：数列{(1)/(xn)}是等差数列，并求|OA_n|关于n的表达式；
（2）记⊙P_n的面积为S_n，根据以往施工经验可知，面积为S的圆形小道的施工工时为√(πS)（单位：周）．试问5周时间内能否完成前n个圆形小道的修建？请说明你的理由．

Answer 1

（1）依题意可设⊙p_n的半径rn＝yn＝xn2
∵⊙p_n与⊙p_n+1相切
∴|p_np_n+1|=r_n+r_n+1
∴√((xn−xn+1)2)+√((yn−yn+1)2)=y_n+y_n+1
两边平方整理可得，(xn−xn+1)2＝4xn2xn+12
∵x_n＞x_n+1＞0
∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1
∴(1)/(xn+1)−(1)/(xn)＝2
∴{(1)/(xn)}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴(1)/(xn)＝1+2(n−1)=2n-1
∴xn＝(1)/(2n−1)即|OAn|＝(1)/(2n−1)
（2）∵sn＝πrn2=πxn4=(π)/((2n−1)4)
设前几个圆型小道的施工总时为T_n=√(作业帮用户2017-10-14举报问题解析（1）依题意可设⊙pn的半径rn＝yn＝xn2，由题意可得|pnpn+1|=rn+rn+1，代入点的坐标整理可得(1)/(xn+1)−(1)/(xn)＝2，结合等差数列的通项公式可求(1)/(xn)，进而可求xn，即可求解（2）由sn＝πrn2=πxn4=(π)/((2n−1)4)，代入Tn=√(πs1)+√(πs2)+…+√(πsn)=π[(1)/(12)+(1)/(32)+…+(1)/((2n−1)2)]，利用放缩法及裂项即可求解和，可求名师点评本题考点：数列的求和；数列的函数特性；等差关系的确定．考点点评：本题主要考查了圆外切性质的应用，利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式，数列的裂项求和及放缩法在不等式中的应用扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)