已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴的正半轴相交于点E,点B（-1,0）,P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）（1）求点A、E的坐标；（2）若y= x2+bx+c

Question

已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴的正半轴相交于点E
,点B（-1,0）,P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）
（1）求点A、E的坐标；
（2）若y= x2+bx+c过点A、E,求抛物线的解析式；
（3）连接PB、PD,设L为△PBD的周长,当L取最小值时,求点P的坐标及L的最小值,并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由．

Answer 1

第一个问题：
∵△ABC是边长为4的等边三角形,又B的坐标为（－1,0）,BC在x轴上,A在第一象限,
∴点C在x轴的正半轴上,∴C的坐标为（3,0）,由中点坐标公式,得：D的坐标为（1,0）.
显然AD⊥BC且AD＝√3BD＝2√3,∴A的坐标是（1,2√3）.
∵EO∥AD、BO＝OD＝1,∴EO是△ABD的中位线,∵EO＝AD/2＝√3,
∴点E的坐标是（0,√3）.
即：A、E的坐标分别是（1,2√3）、（0,√3）.
第二个问题：
∵A、E在y＝x^2＋bx＋c上,∴2√3＝1＋b＋c、且√3＝c.
∴b＝2√3－1－√3＝√3－1.
∴满足条件的抛物线的解析式是y＝x^2＋（√3－1）x＋√3.
第三个问题：
过D作DF⊥AC交AC于F,延长DF至G,使DF＝FG,连结BG,则BG与AC的交点就是点P.
∵BD＝2,是定值,∴要使△PBD的周长最小,只需要PB＋PD最小就可以了.
下面证明此时能使PB＋PD取得最小值：
过G作GH⊥BC交BC的延长线于H.
∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB＝60°,显然有：DC＝2.
∵CF⊥DG、DF＝FG,∴PC是DG的垂直平分线,∴PD＝PG,
∴PB＋PD＝PB＋PG＝BG.
显然,AC上除P外的任何一点Q,都能使Q、B、G构成三角形,
由三角形两边之和大于第三边,得：QB＋QG＞BG,而Q在DG的垂直平分线上,
∴QD＝QG,∴QB＋QD＞BG.
∴BG、AC的交点就是能使PB＋PD取得最小值的点P.
∵CF是DG的垂直平分线,∴CG＝DC＝2,∴∠FCG＝∠ACB＝60°,
∴∠GCH＝180°－∠ACB－∠FCG＝180°－60°－60°＝60°,∴CH＝1、GH＝√3.
∴OH＝OD＋DC＋CH＝1＋2＋1＝4.∴点G的坐标是（4,√3）.
∴BG＝√［（4＋1）^2＋（√3－0）^2］＝√（25＋3）＝2√7.
∴△PBD的周长最小值为2＋2√7.
由B（－1,0）、G（4,√3）,得：BP的斜率＝√3/5,∴BP的方程为y＝（√3/5）（x＋1）.
由A（1,√3）、C（3,0）,得：AC的斜率＝－√3/2,∴AC的方程为y＝－（√3/2）（x－3）.
联立：y＝（√3/5）（x＋1）、y＝－（√3/2）（x－3）,消去y,得：
（√3/5）（x＋1）＝－（√3/2）（x－3）,∴2（x＋1）＝－5（x－3）,∴2x＋2＝－5x＋15,
∴7x＝13,∴x＝13/7,∴y＝（√3/5）（13/7＋1）＝4√3/7.
∴P的坐标是（13/7,4√3/7）.
将P的坐标是（13/7,4√3/7）代入抛物线方程y＝x^2＋（√3－1）x＋√3中,
左边＝4√3/7、右边＝169/49＋13√3/7－13/7＋√3,显然左右不等,∴点P不在抛物线上.