一个自然数恰好有12个约数则它最多有多少个约数的个位是3

Question

一个自然数恰好有12个约数则它最多有多少个约数的个位是3

Answer 1

9个.\x0d由18=2*9=3*6=2*3*3,可知n可以有1个,2个或3个不同的素因子,即\x0d\x0d要使个位是3的约数尽可能多,如果只含有1个素因子,此时任取个位数是3的素数则n的个位为3的约数最多,即在n=p1^17的情况下,经验证有5个满足条件的约数(p1=3,3,3^5,3^9,3^13,3^17).如果含有2个不同的素因子,即n=p1^2*p2^5或n=p1*p2^8的情况下,经验证前者为6个(取p1=3,p2=31),后者为9个(p1=3,p2=31),如果含有3个不同的素因子,即n=p1*p2^2*p3^2,经验证满足条件的约数为5个(取p1=3,p2=13,p3=31).故个位为3的约数最多是9个,此时可取n=3*31^8,其9个约数为:3,3*31,3*31^2,...,3*31^8.\x0d设n=pq^n,则个位数为3的约数最多为n+1个,显然当p取个位数为3的素数,q取个位数为1的素数,此时个位数为3的约数有p,pq,pq^2,...,pq^n为n+1个个位数为3的约数.这是n的全部约数,所以n+1个是最多的.