如果1个自然数恰好等于他的各位数码和的13倍,求出所有这样的自然数.a+b是7的倍数,则aba也是7的倍数,这是为什么?并写出符合条件的偶数.

Question

如果1个自然数恰好等于他的各位数码和的13倍,求出所有这样的自然数.
a+b是7的倍数,则aba也是7的倍数,这是为什么?并写出符合条件的偶数.

Answer 1

我们把这个数字设置成abcde……这样的形式.首先要确定这个数就几位数.
2位数以下不可能,因为列式可以看出：13a+13b=10a+b明显无法成立.
4位数以上也不可能,13a+13b+13c+13d=1000a+100b+10c+d.这里a,b,c,d都是小于9的数,13倍无论如何到不了1000以上.
那我们知道这个数字应该是个3位数
13a+13b+13c=100a+10b+c
87a-3b-12c=0
这里我们又要讨论一下.b,c两数最大是9的时候,3b+12c=135
也就是说a只能是1,取2时87a=174,大于135了.
那么式子就变为3b+12c=87
b=1时,c=7
b=2时,c=81/12……不合题意（要是自然数）
b=3时,c=13/2……不合题意
b=4时,c=25/4……不合题意
b=5时,c=6
b=6时,c=13/4……不合题意
b=7时,c=11/2……不合题意
b=8时,c=21/4……不合题意
b=9时,c=5
aba即是101a+10b
101a+10b=91a+10(a+b)
91a=13a×7
a+b是7的倍数,所以10（a+b)也是7的倍数
所以101a+10b是7的倍数,即aba是7的倍数
a=2时,b=5 252
a=4时,b=3 434
a=6时,b=1 616 或b=8 686
a=8时,b=6 868