把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2i-1个正整数，设aij（i，j∈N*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右第j个数．（Ⅰ）若aij=2013，求

Question

把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2^i-1个正整数，设a_ij（i，j∈N*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右第j个数．
（Ⅰ）若a_ij=2013，求i和j的值；
（Ⅱ）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N*），求证：当n≥4时，A_n＞n²+C

3

n

．

Answer 1

（Ⅰ）∵数表中前i-1行共有1+2¹+2²+…+2^i-2=2^i-1-1个数，
则第i行的第一个数是2^i-1，∴aij＝2i−1+j−1，
∵2¹⁰＜2013＜2¹¹，a_ij=2013，则i-1=10，即i=11．
令2¹⁰+j-1=2013，则j=2013-2¹⁰+1=990．
（Ⅱ）∵aij＝2i−1+j−1，∴ann＝2n−1+n−1(n∈N*)，
∴An＝(1+2+22+…+2n−1)+[0+1+2+…+(n−1)]=2n−1+(n(n−1))/(2)，
当n≥4时，An＝(1+1)n−1+(n(n−1))/(2)＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

−1+(n(n−1))/(2)=n2+

C

3 n

．
∴当n≥4时，A_n＞n²+C

3

n

．