求线性代数设n阶方阵H=E-2x*x的转置,其中x为n维列向量.又x的转置*x=1证明（1）H是对称矩阵（2）H是正交矩阵

Question

求线性代数
设n阶方阵H=E-2x*x的转置,其中x为n维列向量.又x的转置*x=1证明
（1）H是对称矩阵
（2）H是正交矩阵

Answer 1

证明: H = E-2xx'
(1) H' = (E-2xx')' = E' - 2x''x' = E-2xx' = H
所以 H 是对称矩阵
(2) H'H = H^2 = (E-2xx')(E-2xx')
= E - 4xx' + 4 xx'xx'
= E - 4xx' + 4x(x'x)x'
= E - 4xx' + 4xx'
= E
所以H是正交矩阵.