为什么中国古代数学会形成算法思想?它对后世的影响如何?

Question

为什么中国古代数学会形成算法思想?它对后世的影响如何?

Answer 1

数学的发展包括了两大主要活动：证明定理和创造算法.定理证明是希腊人首倡,后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度,形成了数学发展中强烈的算法倾向.统观数学的历史将会发现,数学的发展并非总是演绎倾向独占鳌头.在数学史上,算法倾向与演绎倾向总是交替地取得主导地位.古代巴比伦和埃及式的原始算法时期,被希腊式的演绎几何所接替,而在中世纪,希腊数学衰落下去,算法倾向在中国、印度等东方国度繁荣起来；东方数学在文艺复兴前夕通过阿拉伯传播到欧洲,对近代数学兴起产生了深刻影响.事实上,作为近代数学诞生标志的解析几何与微积分,从思想方法的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物.
从微积分的历史可以知道,微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的结果6.这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的重心及引力、面积与体积计算等.从16世纪中开始的100多年间,许多大数学家都致力于获得解决这些问题的特殊算法.牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分,并进一步指出了它们的互逆关系.无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人,他们所使用的算法都是不严格的,都没有完整的演绎推导.牛顿的流数术在逻辑上的瑕疵更是众所周知.对当时的学者来说,首要的是找到行之有效的算法,而不是算法的证明.这种倾向一直延续到18世纪.18世纪的数学家也往往不管微积分基础的困难而大胆前进.如泰勒公式,欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等,都是在很长时期内缺乏严格的证明.正如冯·诺伊曼指出的那样：没有一个数学家会把这一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认为第一流的.并且反过来,如果当时的数学家一定要在有了严密的演绎证明之后才承认新算法的合理性,那就不会有今天的微积分和整个分析大厦了.
现在再来看一看更早的解析几何的诞生.通常认为,笛卡儿发明解析几何的基本思想,是用代数方法来解几何问题.这同欧氏演绎方法已经大相径庭了.而事实上如果我们去阅读笛卡儿的原著,就会发现贯穿于其中的彻底的算法精神.《几何学》开宗明义就宣称：“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术语,以便使自己变得更加聪明”.众所周知,笛卡儿的《几何学》是他的哲学著作《方法论》的附录.笛卡儿在他另一部生前未正式发表的哲学著作《指导思维的法则》(简称《法则》)中曾强烈批判了传统的主要是希腊的研究方法,认为古希腊人的演绎推理只能用来证明已经知道的事物,“却不能帮助我们发现未知的事情”.因此他提出“需要一种发现真理的方法”,并称之为“通用数学”(mathesis universakis).笛卡儿在《法则》中描述了这种通用数学的蓝图,他提出的大胆计划,概而言之就是要将一切科学问题转化为求解代数方程的数学问题：
任何问题→数学问题→代数问题→方程求解而笛卡儿的《几何学》,正是他上述方案的一个具体实施和示范,解析几何在整个方案中扮演着重要的工具作用,它将一切几何问题化为代数问题,这些代数问题则可以用一种简单的、几乎自动的或者毋宁说是机械的方法去解决.这与上面介绍的古代中国数学家解决问题的路线可以说是一脉相承.
因此我们完全有理由说,在从文艺复兴到17世纪近代数学兴起的大潮中,回响着东方数学特别是中国数学的韵律.整个17—18世纪应该看成是寻求无穷小算法的英雄年代,尽管这一时期的无穷小算法与中世纪算法相比有质的飞跃.而从19世纪特别是70年代直到20世纪中,演绎倾向又重新在比希腊几何高得多的水准上占据了优势.因此,数学的发展呈现出算法创造与演绎证明两大主流交替繁荣、螺旋式上升过程：
演绎传统——定理证明活动
算法传统——算法创造活动
中国古代数学家对算法传统的形成与发展做出了毋容置疑的巨大贡献.
我们强调中国古代数学的算法传统,并不意味中国古代数学中没有演绎倾向.事实上,在魏晋南北朝时期一些数学家的工作中,已出现具有相当深度的论证思想.如赵爽勾股定理证明、刘徽“阳马”一种长方锥体　体积证明、祖冲之父子对球体积公式的推导等等,均可与古希腊数学家相应的工作媲美.赵爽勾股定理证明示意图“弦图”原型,已被采用作2002年国际数学家大会会标.令人迷惑的是,这种论证倾向随着南北朝的结束,可以说是戛然而止.囿于篇幅和本文重点,对这方面的内容这里不能详述,有兴趣的读者可参阅参考文献3.
3 古为今用,创新发展
到了20世纪,至少从中叶开始,电子计算机的出现对数学的发展带来了深远影响,并孕育出孤立子理论、混沌动力学、四色定理证明等一系列令人瞩目的成就.借助计算机及有效的算法猜测发现新事实、归纳证明新定理乃至进行更一般的自动推理……,这一切可以说已揭开了数学史上一个新的算法繁荣时代的伟大序幕.科学界敏锐的有识之士纷纷预见到数学发展的这一趋势.在我国,早在上世纪50年代,华罗庚教授就亲自领导建立了计算机研制组,为我国计算机科学和数学的发展奠定了基础.吴文俊教授更是从70年代中开始,毅然由原先从事的拓扑学领域转向定理机器证明的研究,并开创了现代数学的崭新领域——数学机械化.被国际上誉为“吴方法”的数学机械化方法已使中国在数学机械化领域处于国际领先地位,而正如吴文俊教授本人所说：“几何定理证明的机械化问题,从思维到方法,至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻,”他的工作“主要是受中国古代数学的启发”.“吴方法”,是中国古代数学算法化、机械化精髓的发扬光大.
计算机影响下算法倾向的增长,自然也引起一些外国学者对中国古代数学中算法传统的兴趣.早在上世纪70年代初,著名的计算机科学家D.E.Knuth就呼吁人们关注古代中国和印度的算法5.多年来这方面的研究取得了一定进展,但总的来说还亟待加强.众所周知,中国古代文化包括数学是通过著名的丝绸之路向西方传播的,而阿拉伯地区是这种文化传播的重要中转站.现存有些阿拉伯数学与天文著作中包含有一定的中国数学与天文学知识,如著名的阿尔·卡西《算术之钥》一书中有相当数量的数学问题显示出直接或间接的中国来源,而根据阿尔·卡西本人记述,他所工作的天文台中就有不少来自中国的学者.
然而长期以来由于“西方中心论”特别是“希腊中心论”的影响以及语言文字方面的障碍,有关资料还远远没有得到发掘.正是为了充分揭示东方数学与欧洲数学复兴的关系,吴文俊教授特意从他荣获的国家最高科学奖中拨出专款成立了“吴文俊数学与天文丝路基金”,鼓励支持年轻学者深入开展这方面的研究,这是具有深远意义之举.