级数∞∑(n=1)(2n-1)/2^n

Question

级数∞∑(n=1)(2n-1)/2^n

Answer 1

由于
Σ(n>=1)[(2n-1)/(2^n)]
= Σ(n>=1)[n/2^(n-1)] - Σ(n>=1)[(1/2)^n],
而
Σ(n>=1)[(1/2)^n] = 1/[1-(1/2)] - 1 = ……,
为求
Σ(n>=1)[n/2^(n-1)]
的和,做幂级数
f(x) = Σ(n>=1)[n(x/2)^(n-1)],
利用逐项积分定理,得
　　　g(x) = ∫[0,x]f(t)dt
　　= Σ(n>=1)n∫[0,x][(t/2)^(n-1)]dt
= 2Σ(n>=1)[(x/2)^n]
　　= 2{1/[1-(x/2)] - 1}
= ……,
求导,得 f(x) 的和函数
f(x) = ……,
由此可得
Σ(n>=1)[n/2^(n-1)] = ……,
……