某厂家生产一种精密仪器，已知该工厂每日生产的产品最多不超过30件，且在生产过程中产品的正品率P与每日生产的产品件数x（x∈N*）之间的关系为p（x）=m−x23000，每生产一件正品盈利200

Question

某厂家生产一种精密仪器，已知该工厂每日生产的产品最多不超过30件，且在生产过程中产品的正品率P与每日生产的产品件数x（x∈N^*）之间的关系为p（x）=(m−x2)/(3 000)，每生产一件正品盈利2 000元，每生产一件次品亏损1 000元．已知若每日生产10件，则生产的正品只有7件．（注：正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%）
（1）求日利润y（元）与日产量x（件）之间的函数关系式；
（2）求该工厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．

Answer 1

（1）∵在生产过程中产品的正品率P与每日生产的产品件数x（x∈N^*）之间的关系为p（x）=(m−x2)/(3 000)，
每日生产10件，则生产的正品只有7件
∴(7)/(10)＝(m−100)/(3 000)，∴m=2200，∴p（x）=(2200−x2)/(3 000)
∴y=2000•(2200−x2)/(3 000)•x-1000•（1-(2200−x2)/(3 000)）•x=1200x-x³，
（2）y′=1200-3x²=0，∴x=20
∴函数在（0，20）上单调递增，在（20，10√(22)）上单调递减
∴x=20时，函数取得极大值，即为最大值，最大值为16000元．