如图，在平面直角坐标系xOy中，O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C．（1）判断直线DC与O的位置关系，并给出证明；（2）设点D的坐标为

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，
O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行
O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C．
（1）判断直线DC与
O的位置关系，并给出证明；
（2）设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式．

Answer 1

（1）答：直线DC与⊙O相切于点M．
证明如下：连OM，∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
在△DAO与△DMO中，

AO=OM

∠2=∠4

DO=DO

．
∴△DAO≌△DMO．
∴∠OMD=∠OAD．
由于FA⊥x轴于点A，
∴∠OAD=90°．
∴∠OMD=90°．即OM⊥DC．
∴DC切⊙O于M．
（2）由D（-2，4）知OA=2（即⊙O的半径），AD=4．
由（1）知DM=AD=4，由△OMC∽△DAC，知(MC)/(AC)=(OM)/(AD)=(2)/(4)=(1)/(2)．
∴AC=2MC，
在Rt△ACD中，CD=MC+4．
由勾股定理，有（2MC）²+4²=（MC+4）²，解得MC=(8)/(3)或MC=0（不合题意，舍去）．
∴MC的长为(8)/(3)．
∴点C（(10)/(3)，0）．
设直线DC的解析式为y=kx+b．
则有

0=(10)/(3)k+b

4=-2k+b

．
解得

k=-(3)/(4)

b=(5)/(2)

．
∴直线DC的解析式为y=-(3)/(4)x+(5)/(2)．