过点(1,2)且与f(x)=x^3+x的图像相切的直线条数

Question

过点(1,2)且与f(x)=x^3+x的图像相切的直线条数

Answer 1

过点(1,2)且与f(x)=x³+x的图像相切的直线条数.
共有两条.
【解】点(1,2)可能是切点,也可能不是切点.
f(x)=x³+x,求导得：f’(x)=3x²+1.
设切点坐标为(x0,y0),则y0= x0³+x0,
切点处的导数值是斜率,所以斜率k=3x0²+1.
根据点斜式写出直线方程：y-( x0³+x0)=( 3x0²+1)(x-x0)
切线过点(1,2),所以2-( x0³+x0)=( 3x0²+1)(1-x0)
2 x0³-3 x0²+1=0,
(2 x0³-2 x0²)-(x0²-1)=0,
2 x0²(x0-1)-(x0+1) (x0-1) =0,
(x0-1)( 2 x0²- x0-1) =0,
(x0-1) ²(2x0+1)=0,
x0=1或-1/2.
x0=1时,切点为(1,2),切线斜率为k=3x0²+1=4,切线方程为y=4x-2.
x0=-1/2时,切点为(-1/2,-5/8),切线斜率为k=3x0²+1=7/4,切线方程为y=7x/4+1/4.
∴过点(1,2)且与f(x)=x³+x的图像相切的直线共有两条.
下面是一道类似的题目：
过点（-1,0）作抛物线Y=X平方+X+1的切线,则切线方程为?
【解】Y=X²+X+1,求导得：Y’=2x+1.
设切点为(x0,y0),则y0= X0²+X0+1.
切点处的导数值为斜率：k=2x0+1.
又因为切线过点（-1,0）和(x0,y0),
所以斜率k=y0/(x0+1)= (X0²+X0+1) /(x0+1)
∴(X0²+X0+1) /(x0+1)= 2x0+1.
X0²+X0+1=(2x0+1) (x0+1),
X0²+X0+1=2 X0²+3X0+1,
X0²+2X0=0,X0=0或-2.
所以斜率k=2x0+1=1或-3.
切线过点（-1,0）,
所以切线方程为：y=x+1或y=-3x-3.
【总结】切线问题注意三条原则：
①切点处的导数值等于斜率；
②切点在切线上；
③切点在已知曲线上.