数学、有料的进1.圆周上给定n个点,有的染红色,有的染蓝色,以这些点为端点作弦,每条弦的两端颜色相同,每两条弦除端点外无公共点,证明弦的条数＜＝（3n－4）／22．证明1＋1／2＋1／3＋．．

Question

数学、有料的进
1.圆周上给定n个点,有的染红色,有的染蓝色,以这些点为端点作弦,每条弦的两端颜色相同,每两条弦除端点外无公共点,证明弦的条数＜＝（3n－4）／2
2．证明1＋1／2＋1／3＋．．．1／（2＾n－1）＜n（n＞1）
3．设整数n＞5,证明每一个正方形都可以分为n个正方形.
4.试证明在2＾n×2＾n个单位小方格组成的正方形棋盘上任意挖去一个方格后,总可以用由三个单位构成的L形的块无重叠的覆盖.

Answer 1

1题结论不成立.
取n=10,在圆周上任作一直径,设有5个红点在此直径一侧,5个蓝点在此直径另一侧,此时可作弦为(2*5-3)+(2*5-3)=14条,但(3n-4)/2=13 7*(1x1)+3x3)
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若将一个正方形分为八个,如下图：(4x4 => 7*(1x1)+3x3)
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下以数学归纳法证明此题.
(1)n=6,7,8的分法如上,说明n=6,7,8的时候结论成立.
(2)假设对于任意的n=k>5,结论成立,即一个正方形可以被分为k个正方形.
考察n=4的情况,将一个正方形分为4个正方形,即一次这样的分法将会多出(4-1=)3个正方形.
若将一个正方形先分为k个正方形,再将其中的一个正方形分为4个,则此时此正方形被分为(k+3)个正方形.
因此,结论对于n=k+3也成立.
综上(1)(2),可知,对于任意的n>5,结论成立.
4
应用数学归纳法解决此题.
题中以□表示未被挖掉的块,以■表示被挖掉的块.
L形的块如下示：
□
□□
(1)考察n=1,即2x2的单位小方格.对于此情况(如下图),不论挖去哪一块均可以形成一个L形块,即可以由L形块无重叠覆盖.
□■
□□
故n=1时结论成立.
(2)假设n=k时结论成立,即在2^nx2^n的正方形棋盘中任意挖去一个方格后,可以用L形块无重叠的覆盖.
考察n=k+1的情况.
我们将2^(k+1)x2^(k+1)的正方形棋盘分成四个2^k*2^k的区域,如下图,分别编号为Ⅰ（左上）、Ⅱ（右上）、Ⅲ（左下）、Ⅳ（右下）,设被挖去的一个方格（以■表示）在Ⅳ号区域.
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由上假设,Ⅳ号区域可被L形块无重叠的覆盖.
现分析Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ号区域.
若挖去Ⅰ的右下角块、Ⅱ的左下角块、Ⅲ的右上角块（以▓表示）,则此三个区域均分别可被L形块无重叠的覆盖,如下图示.
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□□□□□□□▓ ▓□□□□□□□
□□□□□□□▓
□□□□□□□□ 如此图示,其中三
□□ □□ 个区域的白色块部
□□ □□ 分均可被L形块无
□□ □□ 重叠覆盖
□□ □□
□□□□□□□□
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然而,这三个被挖去的方块恰好形成一个L形块形状,即被挖去的部分也可以被L形块无重叠覆盖.
综上,在2^(k+1)x2^(k+1)的正方形棋盘中,四个部分的所有方格均可以被L形块无重叠的覆盖.
从而,对于n=k+1,结论成立.
综上(1)(2),则对于任意的n,结论均成立.