某地一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：小时）的变化近似满足函数关系：f（t）=24-4sinωt-43cosωt，t∈[0，24]，且早上8时的温度为24°C，ω∈(0，π8)．（1）求函数的解析式，并判断这一

Question

某地一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：小时）的变化近似满足函数关系：f（t）=24-4sinωt-4√(3)cosωt，t∈[0，24]，且早上8时的温度为24°C，ω∈(0，(π)/(8))．
（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？
（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28°C时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？

Answer 1

（本小题满分12分）
（1）依题意f(t)=24-4sinωt-4√(3)cosωt=24-8sin(ωt+(π)/(3))…（2分）
因为早上8时的温度为24°C，即f（8）=24，
sin(8ω+(π)/(3))=0⇒8ω+(π)/(3)=kπ⇒ω=(1)/(8)(k-(1)/(3))π (k∈Z)…（3分）
∵ω∈(0，(π)/(8))，故取k=1，ω=(π)/(12)，
所求函数解析式为f(t)=24-8sin((π)/(12)t+(π)/(3))， t∈(0，24]．…（5分）
由sin((π)/(12)t+(π)/(3))=-1，(π)/(12)t+(π)/(3)∈((π)/(3)，(7π)/(3))，可知(π)/(12)t+(π)/(3)=(3π)/(2)⇒t=14，
即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32°C．…（7分）
（2）依题意：令24-8sin((π)/(12)t+(π)/(3))=28，可得sin((π)/(12)t+(π)/(3))=-(1)/(2)…（9分）
∵(π)/(12)t+(π)/(3)∈((π)/(3)，(7π)/(3))，∴(π)/(12)t+(π)/(3)=(7π)/(6)或(π)/(12)t+(π)/(3)=(11π)/(6)，
即t=10或t=18，…（11分）
故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…（12分）