给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150

Question

给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r ₁ 与所有可能的其他选择相比是最小的，r ₁ 称为第一组余差；
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r ₂ ；如此继续构成第三组（余差为r ₃ ）、第四组（余差为r ₄ ）、……，直至第N组（余差为r _N ）把这些数全部分完为止。
（Ⅰ）判断r ₁ ，r ₂ ，…，r _N 的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；
（Ⅱ）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与r _n 的大小关系，并证明 ；
（Ⅲ）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11。

Answer 1

（Ⅰ） 。除第N组外的每组至少含有 个数； （Ⅱ）当第n组形成后，因为n＜N，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差r n ，余下数之和也大于第n组的余差r n ，即 ， 由此可得 ，因为 ，所以 ； （Ⅲ...