已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：（i）当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；（ii）当a+b>0时，有f（a）+f（b）>0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中是Ω函数的是

Question

已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：
（i）当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；（ii）当a+b>0时，有f（a）+f（b）>0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中是Ω函数的是（　　）
①y=x+sinx；②y=3^x-（

(1)/(3)）^x；③y=

0，x=0

-(1)/(x)，x≠0

．

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ①②③

Answer 1

容易判断①②③都是奇函数；
y′=1-cosx≥0，y′=ln3（3^x+3^-x）>0；
∴①②都在定义域R上单调递增；
③在定义域R上没有单调性；
设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=-b，f（a）=f（-b）=-f（b）；
∴f（a）+f（b）=0；
a+b>0时，a>-b；
∴f（a）>f（-b）=-f（b）；
∴f（a）+f（b）>0；
∴①②是Ω函数；
对于函数③，a+b>0时，得到a>-b；
∵f（x）不是增函数；
∴得不到f（a）>f（-b），即得不出f（a）+f（b）>0．
故选：A