已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）证明：，且；（Ⅲ）证明：当时，成等比数列..

Question

已知数集 具有性质 ；对任意的 ， 与 两数中至少有一个属于 .
（Ⅰ）分别判断数集 与 是否具有性质 ，并说明理由；
（Ⅱ）证明： ，且 ；
（Ⅲ）证明：当 时， 成等比数列..

Answer 1

已知数集 具有性质 ；对任意的 ， 与 两数中至少有一个属于 .
（Ⅰ）分别判断数集 与 是否具有性质 ，并说明理由；
（Ⅱ）证明： ，且 ；
（Ⅲ）证明：当 时， 成等比数列..

（1）该数集不具有性质P   （2）见解析     （3）见解析

【错解分析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
【正解】（Ⅰ）由于 与 均不属于数集 ，∴该数集不具有性质P.
由于 都属于数集 ， ∴该数集具有性质P.（Ⅱ）∵ 具有性质P，∴ 与 中至少有一个属于A，
由于 ，∴ ，故 .从而 ，∴ .
∵ ， ∴ ，故 .
由A具有性质P可知 .又∵ ，
∴ ，
从而 ，∴ .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 时，有 ，即 ， ∵ ，∴ ，∴ ，由A具有性质P可知 .由 ，得 ，且 ，∴ ，∴ ，即 是首项为1，公比为 成等比数列.