在实数集R中定义一种运算“Δ”，且对任意a，b∈R，具有性质：①aΔb=bΔa；②aΔ0=a；③(aΔb)Δc=cΔ(a•b)+(aΔc)+(bΔc)+c，则函数f(x)=|x|Δ的最小值为.

Question

在实数集R中定义一种运算“Δ”，且对任意a，b∈R，具有性质：
①aΔb=bΔa；②aΔ0=a；③(aΔb)Δc=cΔ(a•b)+(aΔc)+(bΔc)+c，则函数f(x)=|x|Δ的最小值为____.

Answer 1

【分析】准确理解运算“Δ”的性质：①满足交换律，②aΔ0=a；③，(aΔb)Δc=cΔ(ab)+(aΔc)+(bΔc)+c，故有：aΔb=(aΔb)Δ0=0Δ(ab)+(aΔ0)+(bΔ0)+1×0；代入可得答案．

由性质知：aΔb=(aΔb)Δ0=0Δ(ab)+(aΔ0)+(bΔ0)+c×0=ab+a+b
依照上面的计算求得f(x)=(|x|Δ)Δ0=0Δ(|x|•)+(|x|Δ0)+(Δ0 )+1×0=1+|x|+≥3，
故f(x)=|x|Δ的最小值为3．

【点评】由3个条件可得：aΔb=(aΔb)Δ0=0Δ(ab)+(aΔ0)+(bΔ0)+c×0=ab+a+b是解题的关键，是解题的突破口，同时考查了运算能力．