1,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,…上式中的数1,3,6,10,…,称为三角形数.（1）如果t是三角形数,求证：9t+1也是三角形数.（2）找出一对不同于整数对（9,1）的整数对（a,b）,使at+b是三角形数,其中t是三角形

Question

1,
1+2=3,
1+2+3=6,
1+2+3+4=10,
…
上式中的数1,3,6,10,…,称为三角形数.
（1）如果t是三角形数,求证：9t+1也是三角形数.
（2）找出一对不同于整数对（9,1）的整数对（a,b）,使at+b是三角形数,其中t是三角形数.

Answer 1

证明：
1、对于本题的等差数列t=（1+n）n/2
9t+1=9n/2+9n^2/2+1=(9n+9n^2+2)/2=(3n+2)(3n+1)/2=(3n+1+1)(3n+1)/2符合本题的等差数列求和公式,因此9t+1也是三角形数
2、at+b=（an^2+an+2b)/2
an^2+an+2b
a为完全平方数,b=1×2=1
2√a+√a=a
a=3
因此不存在除（9,1）以外的整数对（a,b）,使at+b是三角形数,其中t是三角形数.