在m（m≥2）个不同数的排列P1P2P3…Pm中，若1≤i＜j≤m时，Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记

Question

在m（m≥2）个不同数的排列P ₁ P ₂ P ₃ …P _m 中，若1≤i＜j≤m时，P _i ＞P _j （即前面某数大于后面某数），则称P _i 与P _j 构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（n-1）…321的逆序数为a _n ，如排列21的逆序数a ₁ =1，排列4321的逆序数a ₃ =6．
（1）求a ₄ 、a ₅ ，并写出a _n 的表达式（用n表示，不要求证明）；
（2）令b _n = (an)/(an+1) + (an+1)/(an) -2，求b ₁ +b ₂ +…b _n 并证明b ₁ +b ₂ +…b _n ＜3，n=1，2，…．

Answer 1

（1）由排列21的逆序数a ₁ =1，排列4321的逆序数a ₃ =6，得a ₄ =4+3+2+1=10，a ₅ =5+4+3+2+1=15，
∴a _n =n+（n-1）+…+2+1= (n(n+1))/(2) ；

（2）∵a _n =n+（n-1）+…+2+1= (n(n+1))/(2) ，b _n = (an)/(an+1) + (an+1)/(an) -2，
∴b _n = (an)/(an+1) + (an+1)/(an) -2= (n)/(n+2) + (n+2)/(n) -2= (2)/(n) - (2)/(n+2) ，
∴b ₁ +b ₂ +…+b _n =2[（ (1)/(1) - (1)/(3) ）+（ (1)/(2) - (1)/(4) ）+…+（ (1)/(n) - (1)/(n+2) ）]=3- (2)/(n+1) - (2)/(n+2) ；
又∵n=1，2，…，
∴b ₁ +b ₂ +…b _n =3- (2)/(n+1) - (2)/(n+2) ＜3．