在m(m≥2)个不同数的排列P1P2……Pn中,若1≤i＜j≤m时,Pi＞Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数成为该排列的逆序数.记数列(m+1)n(n-1)……321的逆序数

Question

在m(m≥2)个不同数的排列P1P2……Pn中,若1≤i＜j≤m时,Pi＞Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数成为该排列的逆序数.记数列(m+1)n(n-1) ……321的逆序数为an.如排列21的逆序数为a1=1,排列321的逆序数为a3=6.
（Ⅰ）求a4、a5,并写出an的表达式.
（Ⅱ）令bn=an/a（n+1） + a（n+1）/an,证明2n＜b1+b2+……+bn＜2n +3,n=1,2,…

Answer 1

(1)An=n(n+1)/2(2)由上式Bn=2+2[1/n-1/(n+2)]显然b1+b2+……+bn＞2n关键是右边b1+b2+……+bn=2n+2[(1-1/3)+(1/2-1/4)+...(1/n-1/(n+2))]=2n+2[1+1/2-1/(n+1)-1(n+2)][1+1/2-1/(n+1)-1(n+2)]