如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，2p）时，|

Question

如图，设抛物线方程为x²=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，2p）时，|AB|＝4√(10)，求此时抛物线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由题意设A(x1，(x21)/(2p))，B(x2，(x22)/(2p))，x1＜x2，M(x0，−2p)．
由x²=2py得y＝(x2)/(2p)，得y′＝(x)/(p)，
所以kMA＝(x1)/(p)，kMB＝(x2)/(p)．
因此直线MA的方程为y+2p＝(x1)/(p)(x−x0)，直线MB的方程为y+2p＝(x2)/(p)(x−x0)．
所以(x21)/(2p)+2p＝(x1)/(p)(x1−x0)，①(x22)/(2p)+2p＝(x2)/(p)(x2−x0)．②
由①、②得(x1+x2)/(2)＝x1+x2−x0，因此x0＝(x1+x2)/(2)，即2x₀=x₁+x₂．
所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x₀=2时，
将其代入①、②并整理得：x₁²-4x₁-4p²=0，x₂²-4x₂-4p²=0，所以x₁，x₂是方程x²-4x-4p²=0的两根，
因此x₁+x₂=4，x₁x₂=-4p²，又kAB＝

作业帮用户 2016-12-10 举报

问题解析

（Ⅰ）设出A，B的坐标，对抛物线的方程进行求导，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程，联立求得2x₀=x₁+x₂．判断出三者的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得x₀，代入椭圆和直线的方程整理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，表示出直线AB的斜率，最后利用弦长公式建立等式求得p，则抛物线的方程可得．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；等差关系的确定；抛物线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．注重了考生知识的灵活运用的能力和基本的计算的能力．

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