已知集合P={x|x2-4px+2p+6=0}，Q={x|x＜0，x∈R}，若P∩Q≠∅，求实数p的取值范围．

Question

已知集合P={x|x²-4px+2p+6=0}，Q={x|x＜0，x∈R}，若P∩Q≠∅，求实数p的取值范围．

Answer 1

若P∩Q是空集，因为集合A是方程x²-4px+（2p+6）=0的根的集合，所以必须使得方程有大于或等于0的根或没有实数根即可．
设y=x²-4px+（2p+6），那可以先求出P∩Q是空集的实数p的范围，然后再取这个范围的补集．
（1）若P是空集，则P∩Q为空集，
则△=（4p）²-4（2p+6）＜0
2p²-p-3＜0
得：-1＜p＜(3)/(2)．
（2）若P不是空集，则要使得P∩Q等于空集，则只要方程两根非负即可，得：
①△≥0，得：p≤-1或p≥(3)/(2)；
②x₁+x₂=4p≥0，得：p≥0；
③x₁x₂=2p+6≥0，得：p≥-3
综合①、②、③，得：p≥(3)/(2)．
综合（1）、（2），得P∩Q为空集时，有p＞-1
从而，要使得P∩Q≠φ，则p≤-1，
所以实数p的取值范围是（-∞，-1]．