制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d的两平行极板，如图甲所示．加在极板A、B间的电压UAB按图乙所示规律变化：在0-T0时间内电压为U0，此后电压呈周期性变化，电压大小为k

Question

制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d的两平行极板，如图甲所示．加在极板A、B间的电压U_AB按图乙所示规律变化：在0-T₀时间内电压为U₀，此后电压呈周期性变化，电压大小为kU₀，电压变化的周期为2τ．在t=0时，极板B附近的一个电子，质量为m、电荷量为e，受电场作用由静止开始运动．若无论经过多长的时间，这个电子既未碰到极板A，也没有碰到极板B，且不考虑重力作用．
（1）d的取值必须满足什么条件？
（2）k的取值以及T₀与τ之间的关系必须满足什么条件？
（3）现逐渐增大k的值，使得电子第一次向B极板运动时就能碰到B板，求k的最小值．

Answer 1

（1）电子在0～T₀时间内做匀加速运动，位移为d₁=(1)/(2)a1

T

2 0

，又a₁=(eT0)/(md)，得d1＝(eT0)/(2md)

T

2 0

．
T₀～T₀+τ时间内先向上做匀减速运动，后向下做初速度为零的匀加速运动，匀减速运动的位移为
  d₂=(v21)/(2a2)，
又a₂=(keU0)/(md)，v₁=a₁T₀
d＞d₁+d₂
解得  d＞((k+1)eU0T20)/(2kmd)
（2）据题分析得，要使电子没有碰到极板B，则有
   d₂＜d₁
又a₁T₀=a₂(τ)/(2)
结合（1）中各式，得
   k=(2T0)/(τ)，T₀＞(τ)/(2)
（3）要使得电子第一次向B极板运动时就能碰到B板，则有
  d₁+d₂≤2×(1)/(2)a2(τ−t)2，t=(v1)/(a2)
解得 k≥(T20+4τT0+√(T40+16τ2T20))/(4τ2)或k≥(T20+4τT0−√(T40+16τ2T20))/(4τ2)
所以k_min=(T20+4τT0+√(T40+16τ2T20))/(4τ2)
答：（1）d的取值必须满足的条件是d＞((k+1)eU0T20)/(2kmd)．
（2）k的取值是(2T0)/(τ)，T₀与τ之间的关系必须满足的条件T₀＞(τ)/(2)．
（3）现逐渐增大k的值，使得电子第一次向B极板运动时就能碰到B板，k的最小值是(T20+4τT0+√(T40+16τ2T20))/(4τ2)．