在抛物线中,过F的直线交抛物线与AB,设AB的倾斜角是a,那么AB=2p/sin^2a,问一下怎么得到的啊

Question

在抛物线中,过F的直线交抛物线与AB,设AB的倾斜角是a,那么AB=2p/sin^2a,问一下怎么得到的啊

Answer 1

以最常见的抛物线y²=2px为例：
过F(p/2,0)的直线交抛物线与AB,AB的倾斜角是a
AB直线方程为y=(tan a)(x-p/2).①
设A（x1,y1),B(x2,y2)
A,B同样满足y²=2px.②
联立①②得y²-2py/(tan a)-p²=0,
所以y1+y2=2p/(tan a),y1y2=-p²
因为AB过F,所以AF=x1+p/2,BF=x2+p/2,
AB=AF+BF=x1+x2+p=(y1²+y2²)/2p+p=((y1+y2)²-2y1y2)/2p+p=(4p²/tan²a+2p²)/2p+p=2p/tan²a+2p=2p(1/tan²a+1)=2p/sin²a